Doua probleme de grupuri

Două probleme de grupuri

Prima problemă se referă la "slăbirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuaţiei într-un grup finit cu elemente,

P 1: Fie un monoid multiplicativ şi elementul său neutru. Se spune că elementul este lateral simetrizabil dacă este simetrizabil la stânga ( astfel încât ) sau la dreapta ( astfel încât ).

Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) este grup.

b) Orice element din este simetrizabil la stânga.

c) Orice element din este simetrizabil la dreapta.

d) Orice element din este lateral simetrizabil.

e) Orice parte stabilă a lui conţine cel puţin un element lateral simetrizabil.

Soluţie:

Implicaţia a) b) este evidenta.

b) c) :

Fie arbitrar. Deoarece este simetrizabil la stânga, (1)

Cum şi este simetrizabil la stânga, adică (2)

Înmulţind relaţia (1) la stânga cu şi ţinând seama de (2) obţinem şi atunci relaţia (2) devine , adică este simetrizabil la dreapta.

Implicaţiile c) d) şi d) e) sunt evidente.

e) a) :

Dacă , în partea stabilă există cel puţin un element lateral simetrizabil, de exemplu este simetrizabil la stânga. Atunci cu , adică , ceea ce înseamnă că este simetrizabil la stânga.

În concluzie, am demonstrat că orice element este lateral simetrizabil, adică am stabilit implicaţia e) d).

Vom arăta, în continuare, implicaţia d) a). Pentru aceasta, luăm , să zicem simetrizabil la stânga, deci cu .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie