Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Combinari
COMBINĂRI
Fie mulţimea  . Vom scrie toate submulţimile mulţimii  (toate mulţimile ce pot fi formate cu elemente ale mulţimii  ).
Aceste submulţimi sunt:
1) mulţimea vidă : 
2) submulţimile care au câte un element sunt 
3) submulţimile care au câte două elemente sunt 
4) submulţimea cu trei elemente (mulţimea totală) este  .
 mulţimea  are submulţimi, dintre care: trei submulţimi cu câte un element, trei submulţimi cu câte două elemente, o submulţime cu trei elemente şi mulţimea vidă.
Generalizând, fiind dată o mulţime finită cu  elemente, atunci vrem să determinăm numărul submulţimilor sale cu  elemente.
Definiţie
Dacă  este o mulţime cu  elemente, atunci submulţimile lui  având câte  elemente,  , se numesc combinări de  elemente luate câte  şi se notează 
Din exemplul anterior  
Suma submulţimilor mulţimii  este
 .
Vrem să determinăm o formulă pentru calculul combinărilor de  luate câte  .
Se observă că  , deoarece fiecare mulţime  are doar o submulţime fără nici un element, adică mulţimea vidă.
 deoarece pentru o mulţime  cu  elemente numărul submulţimilor cu un element este 
Teoremă:
Dacă  , atunci
Demonstraţie
Fie  o mulţime cu  elemente. Fie toate submulţimile lui  care au  elemente. Dacă ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate modurile posibile, obţinem toate submulţimile ordonate ale lui  , care au  elemente. Numărul acestor submulţimi este:  . Dar numărul tuturor submulţimilor lui  cu  elemente este este egal cu  şi fiecare dintre aceste submulţimi poate fi ordonată în  moduri 
Dar  şi 
Functii integrabile - Partea I
Introducere: idea de a calcula aria unei figure plane ca limita de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri; scurt istoric. Diviziuni si sume Riemann: definitie, exemple. Definitia integralei Riemann, exemple. Teorema: orice functie integrabila este marginita, demonstratie si exemplu. Formula Leibniz-Newton: demonstratie si exemple.
Vezi intregul articol | Inmultirea a doua numere complexe scrise in forma trigonometrica
Inmultirea a doua numere scrise in forma trigonometrica, exemplu.
Vezi intregul articol | Reprezentarea geometrica a numerelor complexe
Reprezentarea numerelor complexe in planul cartezian.
Vezi intregul articol | Sisteme de ecuatii liniare - forma generala
Scrierea sub forma matriceala a unui sistem liniar. Exemple.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|