Home | Autentificare     
Experior LogoMath Logo

Biblioteca


In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.

Articolul zilei: Asupra unei teoreme Pick


Asupra unei teoreme a lui Pick

Rezultatul de care ne vom ocupa în această notă, cunoscut sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale cărui vârfuri au coordonate întregi (a se vedea [1], pag.68). Este un rezultat elegant şi, după cât se pare, puţin cunoscut la noi. Iată enunţul exact al teoremei lui Pick:

Teorema lui Pick [1]: Într-un sistem cartezian se consideră un poligon ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Atunci Math formula aria poligonului este dată de formula

Math formula , unde Math formula reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului, iar Math formula reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi care aparţin poligonului.

Pentru a demonstra teorema lui Pick avem nevoie de următoarea:

Lemă: Teorema lui Pick este adevărată dacă poligonul este un triunghi oarecare sau un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate.

Demonstraţia lemei. Cazul 1. Poligonul este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Dacă dreptunghiul, notat Math formula, conţine în interiorul laturii Math formula Math formulapuncte de coordonate întregi şi Math formula puncte de coordonate întregi în interiorul laturii Math formula, atunci lungimea lui Math formula este egală cu Math formula, lungimea laturii Math formula este Math formula. Rezultă că aria dreptunghiului Math formula este Math formula Math formula. În plus se obţine:

Math formula

Math formula Math formula.

Prin urmare formula este verificată în cazul unui dreptunghi (Fig.1).

Cazul 2. Poligonul este un triunghi Math formula. Presupunem că laturile Math formula şi Math formula conţin Math formula respectiv Math formula puncte de coordonate întregi, fără a considera capetele lor, şi interiorul triunghiului Math formula conţine Math formula puncte de coordonate întregi. Se disting cinci poziţii ale triunghiului faţă de axele de coordonate:

a) Triunghiul Math formula este dreptunghic şi are catetele paralele cu axele de coordonate (a se vedea Figura 1).

Dreptunghiul Math formula conţine Math formula puncte interioare de coordonate întregi. Pentru triunghiul Math formula avem:

Math formula Math formula

Math formula

Math formula Math formula.

În acest caz formula este verificată.


Sisteme de ecuatii in Zn

Inelul claselor de resturi : definitie, unitati. Sisteme de ecuatii liniare cu coeficienti in inelul claselor de resturi, exemple. Mica teorema a lui Fermat, exemple.

Vezi intregul articol
Punct de intoarcere. Punct unghiular

Punct de intoarcere, punct unghiular: definitii, exemple.

Vezi intregul articol
Aplicatii. Rezolvarea sistemelor liniare

2 sisteme liniare de 3 respectiv 4 necunoscute si 3 ecuatii cu rezolvari.

Vezi intregul articol
Functii reale de variabila reala - partea II

Functia constanta. Functia polinomiala, exemple. Criterii de determinare a radacinilor rationale ale unei ecuatii polinomiale cu coeficienti intregi, exemple.

Vezi intregul articol

Materiale didactice


Bullet Adunarea numerelor complexeDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Adunarea vectorilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Afixul punctului care imparte un segment intr-un raport datDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilor in geometria analiticaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale ecuatiilor algebrice de grad superiorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale functiilor de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale integralei definiteDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale monotoniei functiei de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale proprietatii lui DarbouxDificultate: Nivel de dificultate