Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Asupra unei teoreme Pick
Asupra unei teoreme a lui Pick
Rezultatul de care ne vom ocupa în această notă, cunoscut sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale cărui vârfuri au coordonate întregi (a se vedea [1], pag.68). Este un rezultat elegant şi, după cât se pare, puţin cunoscut la noi. Iată enunţul exact al teoremei lui Pick:
Teorema lui Pick [1]: Într-un sistem cartezian se consideră un poligon ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Atunci  aria poligonului este dată de formula
 , unde  reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului, iar  reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi care aparţin poligonului.
Pentru a demonstra teorema lui Pick avem nevoie de următoarea:
Lemă: Teorema lui Pick este adevărată dacă poligonul este un triunghi oarecare sau un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate.
Demonstraţia lemei. Cazul 1. Poligonul este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Dacă dreptunghiul, notat  , conţine în interiorul laturii   puncte de coordonate întregi şi  puncte de coordonate întregi în interiorul laturii  , atunci lungimea lui  este egală cu  , lungimea laturii  este  . Rezultă că aria dreptunghiului  este   . În plus se obţine:
  .
Prin urmare formula este verificată în cazul unui dreptunghi (Fig.1).
Cazul 2. Poligonul este un triunghi  . Presupunem că laturile  şi  conţin  respectiv  puncte de coordonate întregi, fără a considera capetele lor, şi interiorul triunghiului  conţine  puncte de coordonate întregi. Se disting cinci poziţii ale triunghiului faţă de axele de coordonate:
a) Triunghiul  este dreptunghic şi are catetele paralele cu axele de coordonate (a se vedea Figura 1).
Dreptunghiul  conţine  puncte interioare de coordonate întregi. Pentru triunghiul  avem:
 
  .
În acest caz formula este verificată.
Sisteme de ecuatii in Zn
Inelul claselor de resturi : definitie, unitati. Sisteme de ecuatii liniare cu coeficienti in inelul claselor de resturi, exemple. Mica teorema a lui Fermat, exemple.
Vezi intregul articol | Punct de intoarcere. Punct unghiular
Punct de intoarcere, punct unghiular: definitii, exemple.
Vezi intregul articol | Aplicatii. Rezolvarea sistemelor liniare
2 sisteme liniare de 3 respectiv 4 necunoscute si 3 ecuatii cu rezolvari.
Vezi intregul articol | Functii reale de variabila reala - partea II
Functia constanta. Functia polinomiala, exemple. Criterii de determinare a radacinilor rationale ale unei ecuatii polinomiale cu coeficienti intregi, exemple.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|