 Filtre |
Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Functii integrabile - Partea II
Funcţii integrabile
(2)
Criterii de integrabilitate.
Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.
2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.
Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)
Funcţia  este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real  şi pentru orice şir  de sume Riemann astfel încât  avem . Atunci 
Demonstratie:
Dacă funcţia  este integrabilă, atunci există un număr real  şi pentru orice număr  există  astfel încât pentru orice sumă Riemann  , avem  . Atunci, dacă  este un şir de diviziuni cu  , există  şi pentru orice  , avem  . Rezultă că  . Recapitulând, pentru orice  există  astfel încât pentru orice  avem  . Aceasta înseamnă  .
Reciproc, să presupunem că există un număr real  şi că pentru orice şir de sume Riemann  , cu  avem  . Să presupunem că funcţia  nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul  există  şi, pentru orice număr  , există o sumă Riemann  cu  , astfel încât  . Alegând  , rezultă că există  şi pentru orice  , există  o sumă Riemann cu  , astfel încât  . Atunci şirul  nu converge către  , cu toate că  , ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia  este integrabilă şi  .
Functii cu proprietatea lui Darboux
Proprietaea lui Darboux: definitie, teorema de caracterizare; teorema valorilor intermediare, exemplu.
Vezi intregul articol | Semnul functiei de gradul al II-lea - varianta II
Intervalele de monotonie ale functiei de gradul doi cu discutie dupa semnul coeficientului termenului dominant, tabele de variatie, interpretare geometrica: semnul functiei in regiunile din plan determinate de parabola, figuri , exemple.
Vezi intregul articol | Modulul unui numar complex
Modulul unui numar complex: definitie, exemple, proprietati cu demonstratii: modulul unui numar complex este pozitiv, modulele a doua numere conjugate sunt egale, modulul produsului (catului) a doua numere complexe este egal cu produsul (respective catul) modulelor,. Inegalitatea triunghiului. Aplicatii.
Vezi intregul articol | Inegalitati
Ordonarea numerelor reale reprezentate ca fractii zecimale este o relatie de ordine. Mediile armonica, geometrica, aritmetica, patratica ale unui numar finit de numere reale si inegalitatile dintre ele. 9 Aplicatii ale inegalitatilor mediilor. Inegalitatea Cauchy Buniakowski Schwartz cu 3 aplicatii. Inegalitatea lui Bernoulli cu 3 aplicatii. Inegalitatea lui Cebisev cu 2 aplicatii. Inegalitati de tip Cebisev. Inegalitatea lui Minkowski, interpretare geometrica. Alte aplicatii. Aplicatii ale inegalitatilor la rezolvarea problemelor de maxim si minim.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|