Home | Autentificare     
Experior LogoMath Logo

Biblioteca


In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.

Articolul zilei: Sisteme de ecuatii in Zn


Math formula SISTEME DE ECUAŢII ÎN Math formula

În prima parte a acestei note vom construi (în mod elementar) inelul claselor de resturi modulo Math formula şi vom determina grupul unităţilor (elementelor inversabile) acestui incel, iar în partea a doua vom indica metodele de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare (pătrat) cu coeficienţi în Math formula şi vom rezolva câteva astfel de sisteme. În final vom face câteva observaţii.

Math formula I. Inelul claselor de resturi modulo Math formula

Dacă Math formula şi Math formula , teorema împărţirii cu rest a lui Math formula la Math formula spune că există Math formula, unice, astfel încât : Math formula şi Math formula

Cum Math formula şi Math formula obţinem că : Math formula

Vom nota Math formula mod Math formula ( Math formula modulo Math formula )

Prin urmare, dacă Math formula şi Math formula , Math formula mod Math formula este restul împărţirii lui Math formula la Math formula

De exemplu : Math formula mod Math formula, iar Math formulaMath formulamodMath formula

În acest context, prin clasa de resturi modulo Math formula a numărului întreg Math formula, notată Math formula, vom înţelege:

Math formula şi ţinînd cont de teorema împărţirii cu rest a lui Math formula la Math formulaavem succesiv:

Math formula

Math formula , adică Math formula sau Math formula

Folosind acest rezultat, dacă Math formula şiMath formula, deducem că urmatoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Math formula

2) Math formula şi Math formula dau acelaşi rest prin împărţirea la Math formula

3) Math formula divide Math formula

Se mai scrie, în aceste situaţii, că Math formula (mod Math formula ) şi se citeşte: Math formula congruent cu Math formula modulo Math formula

Mulţimea claselor de resturi modulo Math formula se notează: Math formula şi pe această mulţime se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire a claselor de resturi modulo Math formula:

Math formula

Math formula , prin orice Math formula

Aceste operaţii sunt bine definite (nu depind de alegerea reprezentanţilor) deoarece, pentru orice Math formula cu Math formula şi Math formula avem (folosind cele 3 echivalenţe) :

Math formula şi Math formula


Functii integrabile - Partea I

Introducere: idea de a calcula aria unei figure plane ca limita de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri; scurt istoric. Diviziuni si sume Riemann: definitie, exemple. Definitia integralei Riemann, exemple. Teorema: orice functie integrabila este marginita, demonstratie si exemplu. Formula Leibniz-Newton: demonstratie si exemple.

Vezi intregul articol
Inmultirea a doua numere complexe scrise in forma trigonometrica

Inmultirea a doua numere scrise in forma trigonometrica, exemplu.

Vezi intregul articol
Operatii care au sens

Operatii cu infinit: operatii care au sens, nedeterminari, exemple.

Vezi intregul articol
Aplicatii ale derivatelor. Probleme de maxim si minim, optimizari

14 probleme de maxim si minim, unele formulate abstract altele provenind din diferite domenii: fizica (mecanica, optica), economie, geometrie. Pentru rezolvari se foloseste teorema lui Fermat si tabelele de variatie a semnului derivatei.

Vezi intregul articol

Materiale didactice


Bullet Adunarea numerelor complexeDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Adunarea vectorilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Afixul punctului care imparte un segment intr-un raport datDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilor in geometria analiticaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale ecuatiilor algebrice de grad superiorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale functiilor de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale integralei definiteDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale monotoniei functiei de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale proprietatii lui DarbouxDificultate: Nivel de dificultate