 Filtre
|
Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Functii integrabile - Partea II
Funcţii integrabile
(2)
Criterii de integrabilitate.
Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.
2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.
Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)
Funcţia este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real şi pentru orice şir de sume Riemann astfel încât avem . Atunci 
Demonstratie:
Dacă funcţia este integrabilă, atunci există un număr real şi pentru orice număr există astfel încât pentru orice sumă Riemann , avem . Atunci, dacă este un şir de diviziuni cu , există şi pentru orice , avem . Rezultă că . Recapitulând, pentru orice există astfel încât pentru orice avem . Aceasta înseamnă .
Reciproc, să presupunem că există un număr real şi că pentru orice şir de sume Riemann , cu avem . Să presupunem că funcţia nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul există şi, pentru orice număr , există o sumă Riemann cu , astfel încât . Alegând , rezultă că există şi pentru orice , există o sumă Riemann cu , astfel încât . Atunci şirul nu converge către , cu toate că , ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia este integrabilă şi .
Functii cu proprietatea lui Darboux
Proprietaea lui Darboux: definitie, teorema de caracterizare; teorema valorilor intermediare, exemplu.
Vezi intregul articol | Semnul functiei de gradul al II-lea - varianta II
Intervalele de monotonie ale functiei de gradul doi cu discutie dupa semnul coeficientului termenului dominant, tabele de variatie, interpretare geometrica: semnul functiei in regiunile din plan determinate de parabola, figuri , exemple.
Vezi intregul articol | Modulul unui numar complex
Modulul unui numar complex: definitie, exemple, proprietati cu demonstratii: modulul unui numar complex este pozitiv, modulele a doua numere conjugate sunt egale, modulul produsului (catului) a doua numere complexe este egal cu produsul (respective catul) modulelor,. Inegalitatea triunghiului. Aplicatii.
Vezi intregul articol | Inegalitati
Ordonarea numerelor reale reprezentate ca fractii zecimale este o relatie de ordine. Mediile armonica, geometrica, aritmetica, patratica ale unui numar finit de numere reale si inegalitatile dintre ele. 9 Aplicatii ale inegalitatilor mediilor. Inegalitatea Cauchy Buniakowski Schwartz cu 3 aplicatii. Inegalitatea lui Bernoulli cu 3 aplicatii. Inegalitatea lui Cebisev cu 2 aplicatii. Inegalitati de tip Cebisev. Inegalitatea lui Minkowski, interpretare geometrica. Alte aplicatii. Aplicatii ale inegalitatilor la rezolvarea problemelor de maxim si minim.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|