Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Doua probleme de grupuri
Două probleme de grupuri
Prima problemă se referă la "slăbirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuaţiei  într-un grup finit cu  elemente,
P 1: Fie  un monoid multiplicativ şi  elementul său neutru. Se spune că elementul  este lateral simetrizabil dacă este simetrizabil la stânga ( astfel încât  ) sau la dreapta ( astfel încât  ).
Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a)  este grup.
b) Orice element din  este simetrizabil la stânga.
c) Orice element din  este simetrizabil la dreapta.
d) Orice element din  este lateral simetrizabil.
e) Orice parte stabilă a lui  conţine cel puţin un element lateral simetrizabil.
Soluţie:
Implicaţia a)  b) este evidenta.
b)  c) :
Fie  arbitrar. Deoarece  este simetrizabil la stânga,  (1)
Cum şi  este simetrizabil la stânga, adică  (2)
Înmulţind relaţia (1) la stânga cu  şi ţinând seama de (2) obţinem  şi atunci relaţia (2) devine  , adică  este simetrizabil la dreapta.
Implicaţiile c)  d) şi d)  e) sunt evidente.
e)  a) :
Dacă  , în partea stabilă  există cel puţin un element lateral simetrizabil, de exemplu  este simetrizabil la stânga. Atunci  cu  , adică  , ceea ce înseamnă că  este simetrizabil la stânga.
În concluzie, am demonstrat că orice element  este lateral simetrizabil, adică am stabilit implicaţia e)  d).
Vom arăta, în continuare, implicaţia d)  a). Pentru aceasta, luăm  , să zicem simetrizabil la stânga, deci  cu  .
Multimea functiilor f definite pe A cu valori in B, unde A si B sunt multimi finite
Numarul functiilor de la o multime cu m elemente la o multime cu n elemente este n la puterea m. Demonstratie.
Vezi intregul articol | Functii integrabile - Partea III
Proprietati ale functiilor integrabile si ale integralei (continuare): aditivitatea integralei, exemple; restrictia unei functii integrabila este integrabila; exemple.
Vezi intregul articol | Graficul functiei de gradul al II-lea
Trasarea graficului functiei de gradul doi: etape: intersectia cu axele, varful parabolei, intervale de monotonie; aplicatii.
Vezi intregul articol | Limita unui sir utilizand vecinatati
Siruri care au limita: definitia cu vecinatati, exemple. Siruri convergente: definitie, exemple.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|