Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Structuri algebrice pregrupale
Structuri algebrice pregrupale
În matematica de liceu, prin structură algebrică se înţelege dubletul (sau tripletul) format dintr-o mulţime nevidă şi o lege (sau două legi) de compoziţie, definite pe această mulţime, care verifică un set de proprietăţi numite axiomele structurii respective.
Noţiunea de lege de compoziţie s-a degajat odată cu apariţia grupurilor de substituţii ale lui E. Galois şi a fost cea care a permis lărgirea domeniului de cercetare al algebrei. În acest sens menţionăm algebra Boole, cuaternionii reali descoperiţi de Hamilton şi care au furnizat primul exemplu de corp necomutativ, vectorii, sistemele hipercomplexe şi, mai ales, matricele, descoperite de Cayley, toate acestea făcând ca preocupările algebriştilor să se orienteze, din ce în ce mai mult, către ceea ce se numeşte astăzi structura algebrică abstractă.
D.1. Se numeşte "lege de compoziţie" (sau operaţie algebrică internă) pe mulţimea nevidă  , orice funcţie 
În acest caz, elementul unic determinant  , care este imaginea perechii ordonate   , se notează  şi se numeşte compusul lui  cu  prin legea de compoziţie  .
Adesea, în locul lui  se folosesc alte semne, de exemplu:  cel mai des  (notaţia aditivă) sau  (notaţia multiplicativă), situaţii în care operaţiile se numesc adunare şi respectiv înmulţire, iar compusele  şi  suma şi respectiv produsul lui  cu  .
Pentru consideraţiile ce le vom face în continuare, vom nota operaţia algebrică cu  şi vom scrie:
 .
Din multitudinea exemplelor de legi de compoziţie prezentăm:
1. Adunarea şi înmulţirea numerelor întregi:
2. Adunarea şi înmulţirea matricelor pătratice de ordinul  ( ) cu elemente numere reale:
 ;  
 ;  
3. Reuniunea şi intersecţia mulţimilor sunt legi de compoziţie pe mulţimea părţilor  ale mulţimii nevide  :
 
4. Dacă  este o mulţime nevidă, iar  este mulţimea funcţiilor definite pe  cu valori în  , atunci compunerea funcţiilor este o lege de compoziţie pe mulţimea  :
 .
Multimea functiilor f definite pe A cu valori in B, unde A si B sunt multimi finite
Numarul functiilor de la o multime cu m elemente la o multime cu n elemente este n la puterea m. Demonstratie.
Vezi intregul articol | Inecuatii cu modul
Inecuatii cu modul: forma generala, exemple.
Vezi intregul articol | Ecuatii algebrice de grad superior
Teorema lui Bezout. Scurt istoric despre rezovarea ecuatiilor algebrice de grad 1-4. Teorema Abel-Ruffini si teorema d’Alembert-Gauss (teorema fundamentala a algebrei). Numere intregi negative, numere rationale, numere complexe ca radacini de ecuatii algebrice. Relatii intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete) cu exemple. Rezolvarea ecuatiilor binome. Exemple si figuri geometrice pentru gradele 3,4. Rezolvarea ecuatiilor bipatrate. Exemple.
Vezi intregul articol | Permutari. Notiunea de permutare
Definitia permutarii. Gradul permutarii. Cardinalul multimii permutarilor de grad dat. Permutarea identica. Exemple.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|