Structuri algebrice pregrupale

Structuri algebrice pregrupale

În matematica de liceu, prin structură algebrică se înţelege dubletul (sau tripletul) format dintr-o mulţime nevidă şi o lege (sau două legi) de compoziţie, definite pe această mulţime, care verifică un set de proprietăţi numite axiomele structurii respective.

Noţiunea de lege de compoziţie s-a degajat odată cu apariţia grupurilor de substituţii ale lui E. Galois şi a fost cea care a permis lărgirea domeniului de cercetare al algebrei. În acest sens menţionăm algebra Boole, cuaternionii reali descoperiţi de Hamilton şi care au furnizat primul exemplu de corp necomutativ, vectorii, sistemele hipercomplexe şi, mai ales, matricele, descoperite de Cayley, toate acestea făcând ca preocupările algebriştilor să se orienteze, din ce în ce mai mult, către ceea ce se numeşte astăzi structura algebrică abstractă.

D.1. Se numeşte "lege de compoziţie" (sau operaţie algebrică internă) pe mulţimea nevidă , orice funcţie

În acest caz, elementul unic determinant , care este imaginea perechii ordonate , se notează şi se numeşte compusul lui cu prin legea de compoziţie .

Adesea, în locul lui se folosesc alte semne, de exemplu: cel mai des (notaţia aditivă) sau (notaţia multiplicativă), situaţii în care operaţiile se numesc adunare şi respectiv înmulţire, iar compusele şi suma şi respectiv produsul lui cu .

Pentru consideraţiile ce le vom face în continuare, vom nota operaţia algebrică cu şi vom scrie:

.

Din multitudinea exemplelor de legi de compoziţie prezentăm:

1. Adunarea şi înmulţirea numerelor întregi:

2. Adunarea şi înmulţirea matricelor pătratice de ordinul () cu elemente numere reale:

;

;

3. Reuniunea şi intersecţia mulţimilor sunt legi de compoziţie pe mulţimea părţilor ale mulţimii nevide :

4. Dacă este o mulţime nevidă, iar este mulţimea funcţiilor definite pe cu valori în , atunci compunerea funcţiilor este o lege de compoziţie pe mulţimea :

.

Materiale Didactice Asemanatoare