Un semigrup remarcabil

Un semigrup remarcabil

I. Introducere

1.1 Semigrupul este dubletul format din mulţimea nevidă şi legea de compoziţie asociativă definită pe .

Dacă, în plus, legea de compoziţie admite element neutru, semigrupul se numeşte monoid sau semigrup cu unitate.

Elementul se numeşte element zero al semigrupului dacă oricare ar fi .

Elementul se numeşte element idempotent al semigrupului dacă

1.2 Se numeşte relaţie binară pe muţimea arbitrară orice submulţime a produsului cartezian

Dacă şi sunt două elemente arbitrare ale mulţimii , iar , vom spune că este în relaţia cu şi vom nota acest lucru prin . Dacă , atunci vom scrie .

Mai precizăm faptul că, dacă este o relaţie binară pe , atunci ea se numeşte:

a) reflexivă, dacă , oricare ar fi ;

b) simetrică, dacă oricare ar fi cu rezultă ;

c) tranzitivă, dacă oricare ar fi cu şi rezultă .

În fine, dacă o relaţie binară este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, atunci ea este o relaţie de echivalenţă.

Vom studia în continuare un semigrup remarcabil şi anume:

II. Semigrupul relaţiilor binare ale unei mulţimi

Dacă este o mulţime arbitrară şi notăm cu mulţimea tuturor relaţiilor binare definite pe , atunci Pentru definim relaţia binară:

Relaţia binară se numeşte compunerea relaţiei binare cu relaţia binară . De asemenea, pentru mulţimea arbitrară , vom nota:

diagonala mulţimii , care, evident, este o relaţie binară pe şi observăm că dacă şi numai dacă . Din acest motiv relaţia binară se numeşte egalitate pe mulţimea .

Propoziţia 2.1

Operaţia de compunere a relaţiilor binare determină pe mulţimea o structură de monoid având ca element neutru relaţia binară . În plus, muţimea vidă este elementul zero al acestui monoid.

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie