Doua probleme de grupuri

Considerăm acum elementul , care este şi el lateral simetrizabil, să zicem la stânga, adică: cu , adică , deci este simetrizabil la stânga şi atunci se continuă ca la implicaţia b) c), ajungându-se la concluzia că este şi simetric la dreapta al elementului , deci este simetrizabil.

Dacă este simetrizabil la dreapta, cu , adică , deci este şi simetrizabil la dreapta. Fiind simetrizabil la stânga şi la dreapta, este simetrizabil, deoarece din (am notat ) rezultă

, adică simetricele la stânga şi la dreapta coincid. Aşadar, orice element este simetrizabil, adică este grup.

COMENTARIU

Oricare din condiţiile b), c), d), e) reprezintă (de fapt) "slăbiri" ale sistemului axiomatic al grupului. Se poate merge chiar şi mai mult cu această "slăbire", presupunând, de exemplu, că este doar un semigrup (vezi articolul referitor la structuri algebrice pregrupale) în care există element neutru la stânga (dreapta) şi fiecare element al acestui semigrup este simetrizabil la stânga (dreapta).

Mai precis: dacă în semigrupul există cu proprietatea şi pentru orice , există cu , atunci este un grup.

Într-adevăr, mai întâi dovedim că pentru fiecare , simetricul său la stânga este şi simetric la dreapta (faţă de acelaşi element neutru la stânga ).

Dacă este simetricul la stânga al lui , adică , avem:

, de unde rezultă

, adică . Mai rămâne să arătăm că este element neutru la dreapta. Pentru orice , notând cu simetricul său (atât la stânga cât şi la dreapta) avem: .

Prin urmare, este grup şi comentariul se încheie.

P 2: Fie un grup multiplicativ cu elemente.

Să se arate că:

I) Dacă nu este divizibil cu , atunci pentru orice , ecuaţia are o soluţie unică în grupul .

II) Dacă nu este divizibil cu , atunci pentru orice , ecuaţia are o soluţie unică în grupul .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie