Asupra unor probleme de teoria grupurilor

Asupra unor probleme de teoria grupurilor

În această notă vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange şi asupra noţiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva câteva probleme în legătură cu aceste două rezultate.

Remarcăm faptul că vom prezenta teorema lui Lagrange evitând noţiunile de relaţie de echivalenţă şi mulţime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.

1.1. Reamintim că, dacă este o mulţime nevidă pe care s-a definit o lege de compoziţie notată multiplicativ, , , atunci dubletul se numeşte grupoid.

1.2. Grupoidul se numeşte grup, dacă operaţia este asociativă, admite element neutru şi orice element al lui este inversabil, adică sunt verificate axiomele grupului:

(A)

(N) aşa încât

(S) , aşa încât

Dacă, în plus, operaţia este comutativă, adică:

(C) , , atunci grupul se numeşte grup comutativ (abelian).

Observaţia 1: Dacă şi , atunci se spune că şi sunt permutabile (comută între ele).

Observaţia 2: Un grup este finit dacă mulţimea sa subiacentă este finită.

1.3. În grupul se pot construi puterile întregi ale unui element , punând:

În plus, pentru orice au loc egalităţile:

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie