Structuri algebrice pregrupale

În plus, funcţionează legile puterii:

; pentru orice element şi orice .

D.13. Grupoidul posedă element neutru dacă:

astfel încât .

O.14. Observaţii:

(01) Dacă există elementul cu proprietatea menţionată se numeşte element neutru (de efect nul) şi el este unic determinat.

(02) În cazul unui grupoid aditiv, , elementul neutru (dacă există) se notează cu şi se numeşte element zero, iar în cazul unui grupoid multiplicativ, , elementul neutru (dacă există) se numeşte element unitate şi se notează cu şi nu cu pentru a nu fi confundat cu numărul natural .

D.15. Un semigrup care posedă element neutru se numeşte monoid (sau semigrup cu unitate).

D.16. Elementul al monoidului cu elementul neutru se numeşte simetrizabil dacă:

cu .

O.17. Observaţii:

(01)Dacă există elementul cu proprietatea menţionată, se numeşte simetricul lui în raport cu operaţia şi el este unic determinat.

(02) În cazul unui monoid aditiv, , simetricul lui (dacă există) se notează cu şi se numeşte opusul lui , iar în cazul unui monoid multiplicativ, simetricul lui (dacă există), se notează cu şi se numeşte inversul lui .

D.18. Dacă este un monoid cu elementul neutru , vom nota mulţimea elementelor sale simetrizabile cu .

.

Exemple:

1)

2)

3)

4)

5)

D.19. Un grupoid cu proprietatea că fiecare dintre ecuaţiile şi are soluţie unică în pentru orice se numeşte quasigrup, iar un quasigrup care posedă element neutru se numeşte buclă (loop).

D.20. Dacă şi sunt două semigrupuri, funcţia se numeşte morfism de semigrupuri dacă:

, .

D.21. Dacă şi sunt doi monoizi cu elementele neutre şi respectiv , funcţia se numeşte morfism de monoizi dacă:

1)

2) , .

D.22. Un morfism bijectiv de semigrupuri (monopoizi) se numeşte izomorfism.

D.23. Două semigrupuri şi (doi monoizi şi) se numesc izomorfe dacă între ele există cel puţin un izomorfism. Se scrie:

;

E.24. Exemple:

1) Pentru orice semigrup (monoid) funcţia identică este un morfism de semigrupuri (monoizi). Într-adevăr dacă este un semigrup multiplicativ şi ; , , atunci , , adică este morfism de semigrupuri.

Dacă este un monoid cu elementul neutru , atunci:

a)

b) , , adică este morfism de monoizi.

2) Funcţia , este un izomorfism de monoizi de la la deoarece:

1) bijectivă

2)

3) ,

Exerciţii:

I. Dacă sunt numere întregi fixate şi pe mulţimea numerelor întregi definim operaţia

, ,

să se determine:

a) este semigrup

b) este monoid

c) Mulţimea elementelor simetrizabile pentru fiecare monoid de la punctul b).

Materiale Didactice Asemanatoare