Structuri algebrice pregrupale

Soluţie:

Să presupunem că este parte stabilă a lui faţă de adunare şi să dovedim că este o putere a unui număr prim. Să presupunem prin absurd că are în descompunerea sa cel puţin doi factori primi distincţi şi . Atunci există întregi cu proprietatea

(1)

Deoarece este un divizor comun al numerelor şi , deducem că ; analog . Egalitatea (1) arată că suma elementelor şi , ambele din mulţimea , nu este un element al lui , ceea ce contrazice presupunerea că este parte stabilă a lui faţă de adunare.

Aşadar trebuie să aibă un singur factor prim în descompunerea sa, deci este o putere a unui număr prim.

Reciproc, să presupunem că (unde este număr prim, este număr natural) şi să dovedim că este parte stabilă a lui faţă de adunare. Se constată uşor că pentru avem echivalenţa este multiplu de .

Aşadar este formată din toţi multiplii întregi ai numărului prim, deci este parte stabilă a lui faţă de adunare.

IV. Fie o submulţime a mulţimii numerelor complexe, având proprietăţile:

1. ,

2. este parte stabilă a lui faţă de adunare.

Să se demonstreze că .

Soluţie:

a) Arătăm mai întâi că discul-unitate este inclus în

Din proprietatea 1. avem , şi atunci . Fie acum cu . Considerăm în planul complex punctele şi (deci este mijlocul segmentului ). Perpendiculara în pe intersectează cercul unitate în punctele , . Deoarece este romb, rezultă . Cum , (conform proprietăţii 1.), rezultă (conform proprietăţii 2.)

b) Arătăm că şi "coroana circulară" este inclusă în . Fie cu

. Considerăm în plan punctele şi (deci este mijlocul lui ).

Deoarece rezultă că , deci aparţine discului-unitate şi atunci perpendiculara în pe taie cercul unitate în punctele , . Rezultă că este romb, deci . Dar (conform proprietăţii 1.) şi atunci (conform proprietăţii 2.)

c) Analog (urmează de fapt o inducţie) se arată că şi "coroanele circulare" , ,..., ,... sunt incluse în .

Materiale Didactice Asemanatoare