 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Structuri algebrice pregrupale
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 27 Apr 2009, nivel de dificultate  .
Conceptul de structura algebrica—scurt istoric. Operatii algebrice: definitie si exemple. Conceptele de grupoid, subgrupoid, parte stabila, monoid, semigrup, quasigrup, bucla(loop) cu exemple. Morfisme si izomorfisme. Aplicatii diverse.
Domenii: Grupuri
V. Fie   . Pe această mulţime se defineşte operaţia  astfel:
   , numită produs de convoluţie.
Să se arate că operaţia este comutativă şi nu are element neutru.
Soluţie:
Făcând schimbarea de variabilă  pentru calculul integralei, avem
  
 , pentru orice  , deci    .
Funcţiile  şi  sunt arbitrare în mulţimea  , rezultă că operaţia  este comutativă.
Să presupunem, prin absurd, că există o funcţie  , integrabilă pe orice compact  , cu  , care este element neutru, adică:
    ,   . Luând funcţia
  ,  ,  , egalitatea
  devine:
 (1)
Făcând  în egalitatea (1), obţinem  , contradicţie.
VI. Dacă pe mulţimea  este dată o operaţie algebrică  satisfăcând proprietăţile:
1) Există  , astfel încât  , oricare ar fi  ;
2)  , oricare ar fi  , atunci  este monoid comutativ.
Soluţie:
Făcând  în relaţia 2) şi ţinând seama de 1), obţinem:
  , deci operaţia  este comutativă. Atunci:
  , deci
   , adică  este asociativă.
Rezultă că mulţimea  este monoid comutativ.
VII. Pe mulţimea  se defineşte o operaţie notată multiplicativ, cu proprietatea
  , oricare ar fi  .
Să se demonstreze că fiecare dintre ecuaţiile  şi  , unde  au soluţiue unică în  .
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
|