 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
În aceasta nota vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange si asupra notiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva 7 probleme de grupuri finite abeliene aplicand aceste doua rezultate. Remarcam faptul ca vom prezenta teorema lui Lagrange evitând notiunile de relatie de echivalenta si multime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.
Domenii: Grupuri
Demonstraţie:
I. Cum   , atunci 
II. Presupunem   şi vom arăta că   . Într-adevăr, cum  , există  şi  , adică există    , astfel încât  şi  , deci   sau   . Dacă  , atunci există  cu  , adică    şi analog se arată că    .
III. Funcţia  ,  este, evident, bijectivă, deci mulţimile  şi  au acelaşi număr de elemente.
b) Prin ordinul grupului finit  notat  înţelegem numărul elementelor din  .
c) Teorema luiLagrange: Dacă  este un grup finit şi  un subgrup al său, atunci  divide  .
Demonstraţie: Folosind proprietatea II a rezultatului anterior, putem alege elementele  astfel încât mulţimile  să fie disjuncte două câte două şi oricare ar fi   să fie egală cu una din mulţimile  Atunci, folosind I, rezultă că:
 şi trecând la cardinale obţinem:
  
Dar, folosind proprietatea III,  ,  şi de aici  adică  divide  .
1.8. a) Prin ordinul elementului  al grupului finit  , notat  , înţelegem cel mai mic număr  cu proprietatea că   , adică:
 
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
Bibliografie
| 1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988) | | 2. Semigrupuri, aplicatii - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Militara - Bucuresti (anul 1995) |
|