 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
În aceasta nota vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange si asupra notiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva 7 probleme de grupuri finite abeliene aplicand aceste doua rezultate. Remarcam faptul ca vom prezenta teorema lui Lagrange evitând notiunile de relatie de echivalenta si multime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.
Domenii: Grupuri
1.3' Exerciţiu: Să se arate că grupul  cu proprietatea că există  ,
  şi  ,  este abelian.
Soluţie: Deoarece   există  , astfel încât  şi atunci pentru orice  avem: 
 , adică oricare două elemente ale lui  sunt permutabile, deci grupul este abelian.
1.4. Fie  un grup şi  o parte nevidă a lui  Spunem că  este subgrup al lui  dacă:
a)  este parte stabilă a lui 
b) Legea indusă determină pe  o structură algebrică de grup.
1.5. Dacă  este un grup şi  atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a)  este subgrup al lui 
b)  şi  
c)   
Observaţie: Dacă  este un grup cu elementul unitate  , atunci  şi  sunt subgrupurile improprii (triviale) ale lui  . Orice subgrup diferit de subgrupurile  şi  se numeşte subgrup propriu al lui  .
1.6. a) Dacă  este un grup şi  , atunci:
  este subgrup al lui  numit subgrupul ciclic generat de  ;
b) Grupul  se numeşte ciclic dacă există  astfel încât  .
1.7. a) Dacă  este un grup,  un subgrup al său şi  , iar  , atunci:
I.  , 
II. Dacă  , atunci   sau  
III. Dacă  este un grup finit, atunci  şi  au acelaşi număr de elemente.
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
Bibliografie
| 1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988) | | 2. Semigrupuri, aplicatii - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Militara - Bucuresti (anul 1995) |
|