Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti intr-un corp. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom in factori ireductibili: existenta si unicitatea descompunerii. Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor complexe. . Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor reale. Aplicatii.
Domenii: Polinoame
6. Polinomul  nu are rădăcini în  .
Soluţie: Într-adevăr, dacă pentru  avem  , atunci  , deci
 . Dar  este par şi  este impar, contradicţie.
7. Orice polinom  de  cu coeficienţi dintr-un corp comutativ  admite o rădăcină în  .
Soluţie: Într-adevăr, fie  , unde  . Fie  . Atunci,  .
8. Să se găsească rădăcinile polinomului  în  .
Soluţie: Într-adevăr, funcţia polinomială asociată  ia valorile date în tabelul:
Deci  şi  sunt rădăcinile polinomului  .
9. Fie  . Arătaţi că  se divide prin  dacă şi numai dacă  are un număr par de coeficienţi  .
Soluţie: Cum  , avem  .
Dar  şi cum  , rezultă că  dacă şi numai dacă numărul coeficienţilor  este par.
10. Fie  un corp comutativ,  şi  .
a) Arătaţi că restul împărţirii polinomului  prin  este:
b) Dacă  şi  , atunci  .
Soluţie:
a) Cum gradul polinomului  este egal cu  , restul împărţirii lui  prin  este de forma  , cu  . Fie  astfel încât 
 .
|