Sisteme de ecuatii liniare - cazul general

reprezintă minorul caracteristic ecuaţiei secundare , care este un minor de ordin ce se obţine prin "bordarea" minorului principal cu o linie formată din coeficienţii necunoscutelor principale din ecuaţia secundară şi o coloană formată din termenii liberi ai ecuaţiilor principale şi ecuaţiei secundare .

Prin urmare: . Folosind acest rezultat putem studia compatibilitatea lui .

1) Dacă este o soluţie a lui atunci:

2) Dacă şi este o soluţie a lui , atunci folosind găsim:

, adică şi cum , rezultă că , adică soluţia lui verifică şi ecuaţiile secundare, deci este soluţie a lui .

Am demonstrat, astfel, teorema lui Rouche:

Un sistem de ecuaţii liniare de rang strict mai mic decât numărul ecuaţiilor este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli. Dacă un minor caracteristic este nenul, atunci sistemul este incompatibil.

Practic, se urmează următorul algoritm:

1) Se determină şi se precizează , ecuaţiile principale - ecuaţiile secundare, necunoscutele principale - necunoscutele secundare.

2) compatibil determinat cu soluţia .

3) compatibil nedeterminat cu soluţia .

4) se calculează toţi cei minori caracteristici:

* toţi , atunci compatibil

* există un incompatibil.

Pentru sistemele omogene facem precizările: