Sisteme de ecuatii in Zn

Observaţie :

Este necesar să precizăm această bine definire deoarece există numere întregi diferite care au clase egale (de exemplu: (mod 4))

Operaţiile astfel definite induc pe mulţimea o structură algebrică de inel (unitar şi comutativ), numit inelul claselor de resturi modulo .

Axiomele inelului se verifică cu uşurinţă. Precizăm că elementul neutru al grupului este , iar opusa unei clase în acest grup este: . De asemenea, elementul unitate al monoidului este şi o clasă se numeşte inversabilă dacă este inversabilă în monoidul , adică există cu

Dacă o astfel de clasă există, atunci ea este unică, se numeşte inversa lui şi se notează .

Mulţimea elementelor inversabile ale inelului se notează cu (unităţile lui ) şi are loc urmatoarea:

Propoziţie :

Demonstraţie :

" " Fie

Dacă atunci divide

sau

(Am folosit un cunoscut rezultat din aritmetica numerelor întregi : cu

)

" " Dacă şi cu

şi cum obţinem că

De exemplu :

1) şi (deoarece )

(deoarece )

2)

şi ; ; ; ; ;

De aici extragem un rezultat foarte important pentru partea a doua a acestui articol.

Dacă atunci este inversabilă dacă şi numai dacă .

În această situaţie:

Bibliografie