Sisteme de ecuatii in Zn

SISTEME DE ECUAŢII ÎN

În prima parte a acestei note vom construi (în mod elementar) inelul claselor de resturi modulo şi vom determina grupul unităţilor (elementelor inversabile) acestui incel, iar în partea a doua vom indica metodele de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare (pătrat) cu coeficienţi în şi vom rezolva câteva astfel de sisteme. În final vom face câteva observaţii.

I. Inelul claselor de resturi modulo

Dacă şi , teorema împărţirii cu rest a lui la spune că există , unice, astfel încât : şi

Cum şi obţinem că :

Vom nota mod ( modulo )

Prin urmare, dacă şi , mod este restul împărţirii lui la

De exemplu : mod , iar mod

În acest context, prin clasa de resturi modulo a numărului întreg , notată , vom înţelege:

şi ţinînd cont de teorema împărţirii cu rest a lui la avem succesiv:

, adică sau

Folosind acest rezultat, dacă şi, deducem că urmatoarele afirmaţii sunt echivalente:

1)

2) şi dau acelaşi rest prin împărţirea la

3) divide

Se mai scrie, în aceste situaţii, că (mod ) şi se citeşte: congruent cu modulo

Mulţimea claselor de resturi modulo se notează: şi pe această mulţime se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire a claselor de resturi modulo :

, prin orice

Aceste operaţii sunt bine definite (nu depind de alegerea reprezentanţilor) deoarece, pentru orice cu şi avem (folosind cele 3 echivalenţe) :

şi

Bibliografie