 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
În aceasta nota vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange si asupra notiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva 7 probleme de grupuri finite abeliene aplicand aceste doua rezultate. Remarcam faptul ca vom prezenta teorema lui Lagrange evitând notiunile de relatie de echivalenta si multime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.
Domenii: Grupuri
2.3. Să se arate că orice grup finit cu un număr prim de elemente este ciclic.
Soluţie: Dacă  este un grup finit cu  elemente,  număr prim, iar    şi  este subgrupul ciclic generat de  , conform teoremei lui Lagrange,  divide  , adică   . Dacă   rezultă  , lucru imposibil, căci   ,
 
Rămâne   , adică  şi cum  este ciclic rezultă  ciclic.
2.4. Să se arate că, dacă  este un grup finit,  , iar  şi  , atunci:
a)  
b)
c) 
d) dacă  cu  atunci 
e)  
Soluţie: a) Deoarece  , elementele mulţimii  sunt distincte două câte două şi este clară incluziunea  . Fie acum  , deci există  cu  . Scriind teorema împărţirii cu rest a lui  la  , obţinem că există  şi  numere întregi unice astfel încât  cu  .
Atunci   şi cum  rezultă că  , adică
  şi prin urmare avem egalitatea:
  .
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
Bibliografie
| 1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988) | | 2. Semigrupuri, aplicatii - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Militara - Bucuresti (anul 1995) |
|