Un semigrup remarcabil

Propoziţia 2.2:

1.Dacă atunci:

2.Dacă atunci :

3.

Demonstraţie :

1. Dacă atunci , deci există cu şi . De aici rezultă că şi , adică şi deci incluziunea:

Reciproc, dacă , atunci există cu şi , adică şi . De aici şi prin urmare , deci incluziunea: .

2. Dacă atunci şi , deci:

Reciproc, dacă atunci şi deci

3.Deoarece rezultă că deci .

În finalul articolului vom depista situaţiile în care o relaţie binară este relaţie de echivalenţă.

Fie, deci, o relaţie binară pe .

Dacă este reflexivă, atunci oricare ar fi , adică .

Dacă, în plus, relaţia este simetrică, atunci oricare ar fi cu rezultă şi cum rezultă că . Dacă atunci adică şi prin urmare, , deci

Dacă relaţia este tranzitivă, atunci oricare ar fi cu rezultă , adică , iar dacă este reflexivă şi prin urmare este o relaţie de echivalenţă dacă şi numai dacă:

Se observă că relaţiile de echivalenţă ale mulţimii sunt elemente idempotente ale subgrupului .

Observaţie:

Dacă este o funcţie, graficul său:

are proprietatea că

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie