Structuri algebrice pregrupale
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 27 Apr 2009, nivel de dificultate  .
Conceptul de structura algebrica—scurt istoric. Operatii algebrice: definitie si exemple. Conceptele de grupoid, subgrupoid, parte stabila, monoid, semigrup, quasigrup, bucla(loop) cu exemple. Morfisme si izomorfisme. Aplicatii diverse.
Domenii: Grupuri
Fie   un element inversabil. Aceasta înseamnă că există   astfel încât:     . Rezultă egalităţile:
 şi
 . Primele egalităţi arată că  este inversabil în monoidul  deci  . Dacă   şi apoi  , iar dacă    şi apoi  .
Deci, elementele inversabile din monoidul  sunt cele de forma  sau  , unde  .
X. Fie  mulţimea matricilor  de forma:
cu  . Să se arate că  este parte stabilă a lui  în raport cu înmulţirea matricilor, că formează monoid în raport cu operaţia indusă şi să se determine elementele simetrizabile ale monoidului  .
Soluţie:
Se constată uşor că  ,  . Atunci
  
de unde rezultă că  este parte stabilă a lui  faţă de înmulţire.
Înmulţirea este asociativă în  , deoarece este asociativă în  .
Matricea  aparţine lui  şi este element neutru faţă de înmulţirea din mulţimea  . Aşadar,  este un monoid (care este şi comutativ). Ţinând seama de modul cum se realizează înmulţirea în mulţimea  , deducem că o matrice:
  este inversabilă în  dacă şi numai dacă  sunt inversabile în monoidul  , adică dacă şi numai dacă  .
Rezultă că există  elemente inversabile în  . Acestea sunt următoarele matrici:
 
Materiale Didactice Asemanatoare
 Doua probleme de grupuri
|