Proprietatile limitei unui sir

PROPRIETĂŢILE LIMITEI UNUI ŞIR

Teorema 1 (unicitatea limitei)

Dacă un şir de numere reale are limită, atunci aceasta este unică.

Demonstraţie:

Presupunem prin absurd că şi (limita nu e unică) cu . Fie (vecinătate a lui ) şi (vecinătate a lui ) astfel încât Concret, şi luăm şi

Deoarece în se află toţi termenii şirului , în afara unui număr finit de termeniîn se află cel mult acel număr finit de termeni care nu sunt în nu poate fi limita şirului (contrazice definiţia).

Teorema 2

Limita unui şir nu se modifică dacă se schimbă ordinea termenilor şirului.

Demonstraţie:

Fie şirul şi Din definiţia limitei şirului toţi termenii şirului se află într-o vecinătate a lui de la un rang încolo. Modificând ordinea termenilor şirului, termenii ce rămân în afara vecinătăţii lui sunt aceiaşi, deci limita este tot .