Definitii echivalente pentru continuitatea unei functii intr-un punct
Autor: Iulia Liberis
Descriere: articol pentru Clasa a XI-a publicat in data de 18 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Continuitatea unei functii intr-un punct: scurt istoric, exemle de functii ale caror grafice sunt “intrerupte” sau au “salturi”, definitie punct de acumulare, definitie continuitate intr-un punct, teorema de caracterizare cu siruri, definitie punct de discontinuitate, definitie punct de discontinuitate de prima speta, definitie punct de discontinuitate de a doua speta, 4 exemple.
Domenii: Functii continue
Se observă că reprezentarea grafică se întrerupe în punctele de abscisă  respectiv  . Vrem să vedem ce se întâmpla cu valorile funcţiei în jurul acestor puncte. Vom analiza comportarea valorilor lui  în jurul punctului de abscisă 1.
Observăm că dacă  tinde către  (  se apropie de  cu valori mai mici decât  ), valorile lui  tind către valoarea lui  în  , adică  .
Dacă  tinde către  ,   (  se apropie de  , cu valori mai mari decât  ), valorile lui  tind către valoare lui  în  , adică tind către  .
"Saltul" din jurul punctului de abscisă  se datorează faptului că limitele laterale în  sunt diferite.
Să studiem comportamentul lui  în jurul punctului de abscisă 
 , deci nu avem "salt" în  .
Dacă alegem un punct din domeniu, diferit de  sau  adică  constatăm că  tinde către  când  tinde  .
Punctul de abscisă  este punct izolat în domeniul de definiţie al funcţiei  , deoarece funcţia  nu este definită în alte puncte dintr-o vecinătate a lui  .
Graficul " nu se întrerupe " în  .
Vom defini continuitatea unei funcţii într-un punct .
Definiţie : Fie o funcţie reală  cu  şi un punct  .
O funcţie  se numeşte continuă în punctul  dacă pentru orice vecinătate  a punctului   există o vecinătate  a punctului  astfel încât din faptul că  să rezulte 
Pe scurt:
 continuă în    astfel încât 
Dacă  nu este continuă în  atunci  se numeşte punct de discontinuitate.
|