 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Definiţia 2. Spunem că o mulţime mărginită  din plan are arie dacă există două şiruri  şi  de elemente din  astfel încât:
1)  , pentru orice  ;
2) Şirurile  ,  sunt convergente şi  . În acest caz, definim aria mulţimii  astfel:
 .
Observaţii: Fie  şi  două mulţimi mărginite din plan.
1. Definiţia ariei mulţimii  nu depinde de şirurile  şi  . Mai exact, dacă  şi  sunt alte două şiruri cu elemente din  ce satisfac condiţiile 1) şi 2) din definiţia 2., atunci 
 .
2. Dacă  şi  au arie, atunci  şi  au arie. În plus, dacă  , atunci  şi  .
Teorema 1: Fie  o funcţie continuă şi pozitivă, unde  cu  .Atunci  , subgraficul funcţiei  , are arie şi  .
Demonstraţie:
Fie  o diviziune a intervalului  , iar  şi  sumele Darboux corespunzătoare acestei diviziuni, adică:
 ,  , unde  , iar 
În particular, avem că  .
Produsul  reprezintă aria dreptunghiului cu baza intervalul  şi înălţime  , dreptunghi ce este complet conţinut în mulţimea  .
Să notăm cu  acest dreptunghi şi cu  . Este clar că  este o mulţime din  şi  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|