 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Pe de altă parte, să considerăm dreptunghiul  ce are baza intervalul  şi înălţimea  . Acest dreptunghi conţine porţiunea din mulţimea  ce are proiecţia pe axa Ox intervalul  , iar aria sa este  . Prin urmare, dacă notăm  , atunci  este o mulţime din  şi  .
Fie acum  un şir de diviziuni ale intervalului  astfel încât  . Pentru fiecare  notăm cu  şi  mulţimile din  construite ca mai sus. Pentru orice  avem că  şi  ,  . Cum funcţia  este continuă, deci integrabilă, rezultă că  şi deci 
 . Am obţinut astfel că mulţimea  are arie şi  .
Observaţie: Teorema 1. rămâne adevărată şi pentru funcţii  integrabile. În acest caz, reciproca sa este, de asemenea, adevărată: dacă  are arie, atunci  este integrabilă în sens Riemann.
Să considerăm acum două funcţii continue  astfel încât  pentru orice  , deci graficul funcţiei  este situat sub graficul funcţiei  .
Vom nota cu  mulţimea mărginită de graficele celor două funcţii  şi dreptele  . Prin urmare,
 .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|