Probleme propuse pentru rezolvare

Determinati restul impartirii polinomului f prin polinomul g, unde f = x¹⁹⁹⁸ -1  si g = x⁴ + x³ + 2*x² + x + 1

Nu prea se oboseste lumea sa rezolve  sau sa corecteze...

O rezolvare scurta pentru problema cu monedele este:

Suma unui numar par (10) de numere impare (1,3,5) este un numar par deci nu poate fi 25.

In limbaj de resturi modulo 2 (algebra clasa a 12-a):

Daca adunam in grupul Z2 elementul 1 cu el insusi de 10 ori obtinem elementul 0.

SIrul X_n definit prin relatia X_n+1 =X²_n-2X_n+2, X₀=1 este : a) SC b)SD c)constant d)progresie artmetica cu ratia 1 e)progresie geometrica cu ratia 2 f)oscilant

X_n+1 =(X_n-1)²+1

X_{2= 1} X₃= 1.. => X_n=1

Deci X_n este sir constant;

Rezolvarea Adinei data problemei propuse de Marius este corecta. Ambele sunt postate la rubrica "Probleme Propuse".

EE

Fie k numar natural diferit de 0 si sirul (a_n)_n>0 astfel incat

                                         [ a_n+1 ] = [ a_n ]^k +(k+1)*[a_n]+1, oricare ar fi n>0;

Demonstrati ca daca (a_n)_n>0 este convergent, atunci k=2;

a_n convergent => exista l numar real astfel incat  l=limita cand n tinde la infinit din a_{n ;}

Trecand la limita in relatia din ipoteza avem :

[l]=[l]^k +(k+1) [l] + 1 <=> [ l ]^k + k * [l] + 1=0;

Notam [l]=y;

y^k + k * y+1=0

Fie f=y^k + k * y+1, f apartine lui Z[X] o functie polinomiala de gradul k;

Functia f are solutii intregi daca si numai daca acestea sunt divizori ai termenului liber;

Deci S={1,-1};

pt y=1 => 1 + k +1 =0 <=> k=-2 (fals pentru ca k>0)

pt y=-1 => (-1)^k -k+1=0

k nr par => 1+1=k => k=2  ;

k nr impar => -1 -k +1=0 => k=0 (fals pt ca k>0)

Deci (a_n) convergent daca k=2;

Pentru k=3 functia f are o radacina intre -1 si 0. Rezolvarea Adinei devine corecta daca se intareste enuntul problemei cu conditia "limita sirului este un numar intreg"

EE

Dar mie imi trebuiau doar solutiile intregi .. y este partea intreaga a limitei.