Home | Autentificare     
Experior Logo

Asupra unei teoreme Pick


Autor: Mihaela Badescu
Descriere: articol pentru Clasa a X-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Teorema de care ne vom ocupa în aceasta nota, cunoscuta sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale carui vârfuri au coordonate întregi. Rezultatul depinde doar de numarul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului si de numarul de puncte de coordonate întregi care apartin poligonului.
Domenii: Elemente de geometrie analitica

Figura 5:

Figura 5

Din relaţia

Math formula Math formula,

procedând ca mai înainte, se demonstrează că formula este verificată şi în acest caz. În acest mod lema este complet demonstrată.

Demonstraţia teoremei lui Pick în cazul Math formula. Dacă numărul Math formula de laturi ale poligonului este Math formula, teorema lui Pick se demonstrează prin inducţie după Math formula. Urmăm prezentarea din [1], pag.68. Cazul Math formula a fost tratat în cazul lemei de mai sus. Fie Math formula un număr natural fixat, Math formula. Presupunem formula verificată pentru orice poligon cu Math formula laturi Math formula. Considerăm un poligon cu Math formula laturi, ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Orice poligon conţine o diagonală inclusă în interiorul poligonului: într-adevăr, dacă poligonul este convex, orice diagonală este inclusă în interiorul poligonului. Dacă poligonul nu este convex, considerăm un unghi interior de vârf Math formula care este mai mare decât Math formula. Fasciculul de raze care trec prin Math formula şi sunt incluse în interiorul poligonului conţine cel puţin o rază care trece printr-un vârf al poligonului diferit de Math formula, altfel poligonul ar avea aria infinită.

Fixăm o diagonală Math formula care împarte poligonul în două poligoane Math formulaşi Math formula, fiecare cu un număr de laturi mai mic strict decât Math formula şi deci pentru care formula este valabilă. Fie Math formula numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul diagonalei, Math formula numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul celor două poligoane, Math formulanumărul de puncte de coordonate întregi de pe cele două poligoane.


Pagina 6 din 7 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Bibliografie


1. Problem-solving through problems - Loren C. Larson - Editura: Springer-Verlag - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo (anul 1983)