 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Asupra unei teoreme Pick
Autor: Mihaela Badescu
Descriere: articol pentru Clasa a X-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Teorema de care ne vom ocupa în aceasta nota, cunoscuta sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale carui vârfuri au coordonate întregi. Rezultatul depinde doar de numarul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului si de numarul de puncte de coordonate întregi care apartin poligonului.
Domenii: Elemente de geometrie analitica
Figura 5:
Din relaţia
  ,
procedând ca mai înainte, se demonstrează că formula este verificată şi în acest caz. În acest mod lema este complet demonstrată.
Demonstraţia teoremei lui Pick în cazul  . Dacă numărul  de laturi ale poligonului este  , teorema lui Pick se demonstrează prin inducţie după  . Urmăm prezentarea din [1], pag.68. Cazul  a fost tratat în cazul lemei de mai sus. Fie  un număr natural fixat,  . Presupunem formula verificată pentru orice poligon cu  laturi  . Considerăm un poligon cu  laturi, ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Orice poligon conţine o diagonală inclusă în interiorul poligonului: într-adevăr, dacă poligonul este convex, orice diagonală este inclusă în interiorul poligonului. Dacă poligonul nu este convex, considerăm un unghi interior de vârf  care este mai mare decât  . Fasciculul de raze care trec prin  şi sunt incluse în interiorul poligonului conţine cel puţin o rază care trece printr-un vârf al poligonului diferit de  , altfel poligonul ar avea aria infinită.
Fixăm o diagonală  care împarte poligonul în două poligoane  şi  , fiecare cu un număr de laturi mai mic strict decât  şi deci pentru care formula este valabilă. Fie  numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul diagonalei,  numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul celor două poligoane,  numărul de puncte de coordonate întregi de pe cele două poligoane.
Bibliografie
| 1. Problem-solving through problems - Loren C. Larson - Editura: Springer-Verlag - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo (anul 1983) |
|