Home | Autentificare     
Experior Logo

Asupra unei teoreme Pick


Autor: Mihaela Badescu
Descriere: articol pentru Clasa a X-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Teorema de care ne vom ocupa în aceasta nota, cunoscuta sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale carui vârfuri au coordonate întregi. Rezultatul depinde doar de numarul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului si de numarul de puncte de coordonate întregi care apartin poligonului.
Domenii: Elemente de geometrie analitica

Asupra unei teoreme a lui Pick

Rezultatul de care ne vom ocupa în această notă, cunoscut sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale cărui vârfuri au coordonate întregi (a se vedea [1], pag.68). Este un rezultat elegant şi, după cât se pare, puţin cunoscut la noi. Iată enunţul exact al teoremei lui Pick:

Teorema lui Pick [1]: Într-un sistem cartezian se consideră un poligon ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Atunci Math formula aria poligonului este dată de formula

Math formula , unde Math formula reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului, iar Math formula reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi care aparţin poligonului.

Pentru a demonstra teorema lui Pick avem nevoie de următoarea:

Lemă: Teorema lui Pick este adevărată dacă poligonul este un triunghi oarecare sau un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate.

Demonstraţia lemei. Cazul 1. Poligonul este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Dacă dreptunghiul, notat Math formula, conţine în interiorul laturii Math formula Math formulapuncte de coordonate întregi şi Math formula puncte de coordonate întregi în interiorul laturii Math formula, atunci lungimea lui Math formula este egală cu Math formula, lungimea laturii Math formula este Math formula. Rezultă că aria dreptunghiului Math formula este Math formula Math formula. În plus se obţine:

Math formula

Math formula Math formula.

Prin urmare formula este verificată în cazul unui dreptunghi (Fig.1).

Cazul 2. Poligonul este un triunghi Math formula. Presupunem că laturile Math formula şi Math formula conţin Math formula respectiv Math formula puncte de coordonate întregi, fără a considera capetele lor, şi interiorul triunghiului Math formula conţine Math formula puncte de coordonate întregi. Se disting cinci poziţii ale triunghiului faţă de axele de coordonate:

a) Triunghiul Math formula este dreptunghic şi are catetele paralele cu axele de coordonate (a se vedea Figura 1).

Dreptunghiul Math formula conţine Math formula puncte interioare de coordonate întregi. Pentru triunghiul Math formula avem:

Math formula Math formula

Math formula

Math formula Math formula.

În acest caz formula este verificată.


Pagina 1 din 7 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Bibliografie


1. Problem-solving through problems - Loren C. Larson - Editura: Springer-Verlag - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo (anul 1983)